学校から帰ってきたことは
ことは　『友達が自分の「好きな人」の写真を写メでクラス中に
　　　　　広めちゃったんだ。親友だと思ってたのに、
　　　　　気の置けない友達だったなんて』

すると教授がくしゃみ！

この教授、間違った日本語を聞くとくしゃみをする、変な癖を持っている・・

「気の置けない」の使い方、なぜ間違いなのでしょうか？

「気の置けない」は「油断できない」ということではありません。
この場合の「置く」には「不信感や猜疑心を持つ」という意味があります。
すなわち「気の置けない」とは
「心から打ち解ける事ができる」という意味なのです。