テーブルに座り、ニヤニヤしていることは

教　授　『ラブレター！？』
ことは　『先輩からかな？笑顔がこぼれちゃう』

すると教授がくしゃみ！

「笑顔がこぼれる」、なぜ間違いなのでしょうか？

「笑顔」は笑いを浮かべた「顔」の事。
これに対し、「笑み」は喜びやおかしみといった「感情の表れ」を指します。
こぼれるのは「感情」であって「顔」ではありません。
正しくは「笑みがこぼれる」です。